Trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm tam giác

Trực tâm là gì? Trực tâm tam giác đem đặc thù gì, cơ hội xác lập trực tâm như vậy nào? Mời chúng ta hãy nằm trong Download.vn đi kiếm câu vấn đáp nhé.

Trực tâm nhập tam giác là một trong trong mỗi kỹ năng và kiến thức cần thiết nhập hình học tập và đặc biệt quan trọng trong số bài bác tập luyện tương quan cho tới hình tam giác. Trong bài học kinh nghiệm ngày hôm nay Shop chúng tôi tiếp tục reviews cho tới chúng ta toàn cỗ kỹ năng và kiến thức vè định nghĩa, đặc thù, cơ hội xác lập tất nhiên ví dụ minh họa và những dạng bài bác tập luyện đem đáp án tất nhiên. Qua tư liệu này chúng ta gia tăng kỹ năng và kiến thức nắm rõ công thức nhằm biết phương pháp giải bài bác tập luyện Toán. Ngoài ra chúng ta coi tăng tài liệu: tam giác vuông cân nặng, tâm đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác.

Bạn đang xem: trực tâm của tam giác

1. Khái niệm Trực tâm

Trực tâm của tam giác là vấn đề gửi gắm nhau của phụ vương đàng cao nhập tam giác. Tuy nhiên nhằm xác lập trực tâm nhập tam giác tất cả chúng ta ko nhất thiết cần vẽ phụ vương đàng cao. Khi vẽ hai tuyến phố cao của tam giác tao vẫn rất có thể xác lập được trực tâm của tam giác.

Đối với những loại tam giác thường thì như tam giác nhọn tam giác tù hoặc tam giác cân nặng tam giác đều thì tao đều sở hữu cơ hội xác lập trực tâm tương tự nhau. Từ nhị đỉnh của tam giác tao kẻ hai tuyến phố cao của tam giác cho tới nhị cạnh đối lập. Hai cạnh cơ gửi gắm nhau bên trên điểm nào là thì điểm cơ đó là trực tâm của tam giác. Và đàng cao còn sót lại chắc chắn là cũng trải qua trực tâm của tam giác mặc dù tao ko cần thiết kẻ.

Nếu nhập một tam giác, đem phụ vương đàng cao gửi gắm nhau bên trên một điểm thì điểm này được gọi là trực tâm. Điều này sẽ không cần phụ thuộc đôi mắt thông thường, tuy nhiên phụ thuộc tín hiệu nhận ra.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm tại miền nhập tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm tại miền ngoài tam giác đó

2. Khái niệm đàng cao của một tam giác

Đoạn vuông góc kẻ từ là 1 đỉnh cho tới đường thẳng liền mạch chứa chấp cạnh đối lập được gọi là đàng cao của tam giác cơ, và từng tam giác sẽ sở hữu được phụ vương đàng cao.

3. Tính hóa học phụ vương đàng cao của tam giác

- Ba đàng cao của tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.

- Ba đàng cao của tam giác bao hàm những đặc thù cơ bạn dạng sau:

*Tính hóa học 1: Trong một tam giác cân nặng thì đàng trung trực ứng với cạnh lòng cũng bên cạnh đó là đàng phân giác, đàng trung tuyến và đàng cao của tam giác cơ.

*Tính hóa học 2: Trong một tam giác, nếu mà mang 1 đàng trung tuyến bên cạnh đó là phân giác thì tam giác này là tam giác cân nặng.

*Tính hóa học 3: Trong một tam giác, nếu mà mang 1 đàng trung tuyến bên cạnh đó là đàng trung trực thì tam giác này là tam giác cân nặng.

*Tính hóa học 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC tiếp tục trùng với tâm đàng tròn trĩnh nội tiếp tam giác tạo nên bởi vì phụ vương đỉnh là chân phụ vương đàng cao kể từ những đỉnh A, B, C cho tới những cạnh BC, AC, AB ứng.

*Tính hóa học 5: Đường cao tam giác ứng với cùng một đỉnh hạn chế đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp bên trên điểm loại nhị được xem là đối xứng của trực tâm qua quýt cạnh ứng.

*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cơ hội đều phụ vương đỉnh, điểm trực thuộc tam giác và cơ hội đều phụ vương cạnh là tứ điểm trùng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, đàng trung tuyến AM và đàng cao BK. Gọi H là gửi gắm điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

Bài làm

Vì tam giác ABC cân nặng bên trên A nên đàng trung tuyến AM cũng chính là đàng cao của tam giác ABC.

Ta đem H là gửi gắm điểm của hai tuyến phố cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC

Suy rời khỏi CH là đàng cao của tam giác ABC

Vậy CH vuông góc với AB.

4. Cách xác lập trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn ABC đem trực tâm H nằm tại miền nhập tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm đó là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG đem trực tâm H trùng với góc vuông E.

Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm của tam giác tù nằm tại miền ngoài tam giác cơ.

Ví dụ: Tam giác tù BCD đem trực tâm H nằm tại miền ngoài tam giác

5. Bài tập luyện thực hành thực tế đem đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

Cho đoạn trực tiếp AB và điểm M nằm trong lòng A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, bên trên cơ lấy nhị điểm C và D sao cho tới MA = MC, MD = MB.
Tia AC hạn chế BD ở E. Tính số đo góc

A. 30⁰B. 45⁰C. 60⁰D. 90⁰

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân nặng bên trên A, hai tuyến phố cao BD và CE hạn chế nhau bên trên I. Tia AI hạn chế BC bên trên M. Khi cơ ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔABC vuông bên trên A, bên trên cạnh AC lấy những điểm D, E sao cho tới = = . Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho tới DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân nặng bên trên F
B. Tam giác vuông bên trên D
C. Tam giác cân nặng bên trên D
D. Tam giác cân nặng bên trên C

Đáp án: A

Bài 3: Cho ΔABC, hai tuyến phố cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em nên chọn lựa câu sai:

A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M ko nằm trong đàng trung trực của DE

Giải

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy rời khỏi BM = MC (tính hóa học trung điểm), loại đáp án A.

Xét ΔBCE đem M là trung điểm của BC (gt) suy rời khỏi EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đàng trung tuyến ứng cới cạnh huyền bởi vì nửa cạnh ấy)

Xét ΔBCD đem M là trung điểm của BC (gt) suy rời khỏi DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đàng trung tuyến ứng cới cạnh huyền bởi vì nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M nằm trong đàng trung trực của DE. Loại đáp án B, lựa chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho ΔABC đem AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho tới CE = AB. Các đàng trung trực của BE và AC hạn chế nhau bên trên O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO

Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có

+ OA = OC (vì O nằm trong đàng trung trực của AC )

+ OB = OE (vì O nằm trong đàng trung trực của BE )

+ AB = CE (giả thiết)

Do cơ ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)

Chọn đáp án C

B, Tự luận

Bài 1

Hãy phân tích và lý giải tại vì sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm tại bên phía ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông bên trên A

AB ⏊AC ⇒ AB là đàng cao ứng với cạnh AC và AC là đàng cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai tuyến phố cao của tam giác ABC.

Mà AB hạn chế AC bên trên A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù đem góc A tù, những đàng cao CE, BF (E nằm trong AB, F nằm trong AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm trong lòng A và B, khi đó

$\begin{aligned} &\widehat{\mathrm{CAE}} \equiv \widehat{\mathrm{CAB}} \text { là góc tù. }\\ &\text { Trong } \triangle \mathrm{ACE} \text { đem }\\ &\widehat{\mathrm{CAE}}+\widehat{\mathrm{ACE}}+\widehat{\mathrm{CEA}}>90^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}+90^{\circ}\\ &=180^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}>180^{\circ} \end{aligned}$

Vậy E ở ngoài A và B

⇒ tia CE ở ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Tương tự động tao đem tia BF ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là gửi gắm của BF và CE ⇒ H ở bên phía ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm tại bên phía ngoài tam giác.

Bài 2: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

GIẢI

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đàng cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đàng cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ hạn chế nhau bên trên điểm S

Nên: theo đuổi đặc thù phụ vương đàng cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng liền mạch SN là đàng cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

+ Ta đem : nhập tam giác vuông, nhị góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông bên trên Q có:

$\begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông bên trên } \mathrm{P} \text { đem }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}$

Bài 3:

Trên đường thẳng liền mạch d, lấy phụ vương điểm phân biệt I, J, K (J ở thân thiện I và K).

Kẻ đường thẳng liền mạch l vuông góc với d bên trên J. Trên l lấy điểm M không giống với điểm J. Đường trực tiếp qua quýt I vuông góc với MK hạn chế l bên trên N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

GIẢI

Vẽ hình minh họa:

Trong một tam giác, phụ vương đàng cao đồng quy bên trên một điểm là trực tâm của tam giác cơ.

l ⊥ d bên trên J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đàng cao của ΔMKI.

N phía trên đường thẳng liền mạch qua quýt I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đàng cao của ΔMKI.

IN và MJ hạn chế nhau bên trên N .

Theo đặc thù phụ vương đàng cao của tao giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng chính là đàng cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ XiaoMI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 4:

Hãy phân tích và lý giải tại vì sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm tại bên phía ngoài tam giác.

Gợi ý đáp án

+ Xét ΔABC vuông bên trên A

AB ⏊AC ⇒ AB là đàng cao ứng với cạnh AC và AC là đàng cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai tuyến phố cao của tam giác ABC.

Mà AB hạn chế AC bên trên A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù đem góc A tù, những đàng cao CE, BF (E nằm trong AB, F nằm trong AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm trong lòng A và B, khi đó

Vậy E ở ngoài A và B

⇒ tia CE ở ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Tương tự động tao đem tia BF ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là gửi gắm của BF và CE ⇒ H ở bên phía ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm tại bên phía ngoài tam giác.

Bài 5: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đàng cao của ΔMNL.

Xem thêm: công thức con lắc lò xo

MQ ⊥ NL nên MQ là đàng cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ hạn chế nhau bên trên điểm S

Nên: theo đuổi đặc thù phụ vương đàng cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng liền mạch SN là đàng cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

+ Ta đem : nhập tam giác vuông, nhị góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông bên trên Q có:

Bài 7:

Trên đường thẳng liền mạch d, lấy phụ vương điểm phân biệt I, J, K (J ở thân thiện I và K).

Chứng minh KN ⊥ IM.

Gợi ý đáp án

Trong một tam giác, phụ vương đàng cao đồng quy bên trên một điểm là trực tâm của tam giác cơ.

l ⊥ d bên trên J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đàng cao của ΔMKI.

N phía trên đường thẳng liền mạch qua quýt I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đàng cao của ΔMKI.

IN và MJ hạn chế nhau bên trên N .

Theo đặc thù phụ vương đàng cao của tao giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng chính là đàng cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ XiaoMI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 8:

Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của chính nó.

a) Hãy chỉ ra rằng những đàng cao của tam giác HBC. Từ cơ hãy chỉ ra rằng trực tâm của tam giác cơ.

b) Tương tự động, hãy theo lần lượt chỉ ra rằng trực tâm của những tam giác HAB và HAC.

Gọi D, E, F là chân những đàng vuông góc kẻ kể từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

a) ΔHBC đem :

AD ⊥ BC nên AD là đàng cao kể từ H cho tới BC.

BA ⊥ HC bên trên F nên BA là đàng cao kể từ B cho tới HC

CA ⊥ BH bên trên E nên CA là đàng cao kể từ C cho tới HB.

AD, BA, CA hạn chế nhau bên trên A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự động :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là gửi gắm điểm của phụ vương đàng cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là gửi gắm điểm của phụ vương đàng cao : BE, AB, CB)

Bài 9

Cho tam giác nhọn ABC đem phụ vương đàng cao AD, BE, CF. sành AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án:

Bài 4

BE là đàng cao của $∆ ABC \Rightarrow ∆ ABE$ vuông bên trên E.

CF là đàng cao của $∆ ABC \Rightarrow ∆ AFC$ vuông bên trên F.

AD là đàng cao của $∆ ABC \Rightarrow ∆ ADC$ vuông bên trên D.

+ Xét ∆ ABE vuông bên trên E và ∆ AFC vuông bên trên F có:

BE = CF

$\widehat{EAF}$ chung

$\Rightarrow ∆ ABE = ∆ AFC$ (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

$\Rightarrow AB = AC (1)$

+ Xét ∆CDA vuông bên trên D và ∆ AFC vuông bên trên F có:

AC chung

AD = CF

$\Rightarrow ∆CDA = ∆AFC$ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

$\Rightarrow \widehat{CAF}= \widehat{ACD}$

$\Rightarrow ∆ ABC$ cân nặng bên trên B

=> AB = BC (2)

Từ (1), (2) tao có: AB = AC = BC

$\Rightarrow ∆ ABC$ đều.

Bài 10

Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Lấy điểm E nằm trong cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho tới AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Gợi ý đáp án:

Bài 3

a) Gọi F là gửi gắm điểm của DE và BC

+ AD = AE => ∆ADE cân nặng bên trên A

∆ABC vuông cân nặng bên trên A => BA ⊥ AC hoặc EA ⊥ AD

=> ∆ ADE vuông cân nặng bên trên A

$=> \widehat{AED} = \widehat{ADE} = 45°$

+ ∆ ABC vuông cân nặng bên trên A

$=> \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$

+ Xét ∆EFC có: $\widehat{FEC} + \widehat{FCE} + \widehat{EFC} = 180°$

$=> 45° + 45° + \widehat{EFC} = 180°$

$=> \widehat{EFC} = 180° - 90° = 90°$

=> EF ⊥ BC hoặc DE ⊥ BC.

b) Xét tam giác BCD có: CA ⊥ BD => CA là đàng cao của ∆ BCD

DE ⊥ BC => DE là đàng cao của ∆ BCD

Mà DE gửi gắm với CA bên trên E

=> E là trực tâm của ∆ BCD

=> BE ⊥ CD.

Bài 11

Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho tới BM = BC. Tia phân giác của góc B hạn chế AC bên trên H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Gợi ý đáp án:

Bài 2

Gọi MH gửi gắm với BC bên trên điểm I.

+ Xét ∆MBH và ∆CBH có:

MB = MC

$\widehat{MBH} = \widehat{CBH}$

BH chung

=> ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)

$=> \widehat{BMH} = \widehat{BCH}$

+ Xét tam giác ABC vuông bên trên A có: $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^{o}$

+ Ta có: $\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^{o}$

+ Xét tam giác BMI có: $\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = 90^{o}$

$=> \widehat{BIM} = 90^{o}$ .

=> XiaoMI ⊥ BC hoặc MH vuông góc với BC.

Bài 12

Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của chính nó.

Hãy chỉ ra rằng những đàng cao của tam giác HBC. Từ cơ hãy chỉ ra rằng trực tâm của tam giác cơ.

Giải:

Gọi D, E, F là chân những đàng vuông góc kẻ kể từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC đem :

AD ⊥ BC nên AD là đàng cao kể từ H cho tới BC.

BA ⊥ HC bên trên F nên BA là đàng cao kể từ B cho tới HC

CA ⊥ BH bên trên E nên CA là đàng cao kể từ C cho tới HB.

AD, BA, CA hạn chế nhau bên trên A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài tập luyện 13:

Cho △ABC đem những đàng cao AD; BE; CF hạn chế nhau bên trên H. I; J theo lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là nhị điểm đối xứng của D qua quýt AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q trực tiếp sản phẩm.

Giải

a) Sử dụng đặc thù đàng khoảng nhập tam giác vuông tao có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Vậy IJ là đàng trung trực của EF

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

d) H là gửi gắm điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này nằm trong lại = 2.90 =180 => Phường,E,F trực tiếp hàng

Tương tự động tao đem F, E, Q trực tiếp sản phẩm.

6. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của chính nó. Hãy chỉ ra rằng những đàng cao của tam giác HBC. Từ cơ hãy chỉ tao trực tâm của tam giác cơ.

Bài 2: Cho đàng tròn trĩnh (O, R) , gọi BC là chạc cung thắt chặt và cố định của đàng tròn trĩnh và A là một trong điểm địa hình bên trên đàng tròn trĩnh. Tìm tụ tập trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho △ABC đem những đàng cao AD;BE;CF hạn chế nhau bên trên H. I; J theo lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 4: Cho △ABC đem những đàng cao AD;BE;CF hạn chế nhau bên trên H. I; J theo lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P;Q là nhị điểm đối xứng của D qua quýt AB và AC

Chứng minh: P;F;E;Q trực tiếp sản phẩm.

Xem thêm: số chia hết cho 9

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng những điểm đối xứng với H qua quýt những đường thẳng liền mạch chứa chấp những cạnh hoặc trung điểm của những cạnh phía trên đàng tròn trĩnh (ABC).

Bài 6: Cho tam giác ABC với những đàng cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF hạn chế BH bên trên M, DE hạn chế CH bên trên N. chứng tỏ đường thẳng liền mạch trải qua A và vuông góc với MN trải qua tâm nước ngoài tiếp của tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD đem 3 góc ở những đỉnh A, B và C đều bằng nhau. Gọi H và O theo lần lượt là trực tâm và tâm đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D trực tiếp sản phẩm.